第二篇：函数 —— 高中数学的核心篇章
在西安 25 年新高一上学期数学里，函数绝对是重中之重。它贯穿整个高中数学学习，是后续诸多知识的基础。
函数的概念与表示
函数，就像是一个 “数字加工厂”，对于给定集合 A 中的每一个数 x，通过特定的对应法则 f，在集合 B 中都能找到唯一确定的数 y 与之对应，这就构成了从集合 A 到集合 B 的函数，记作 y = f (x) 。这里集合 A 是定义域，函数值 y 的集合就是值域。比如函数 y = 2x + 1，当 x 在实数范围内取值时，这就是定义域，通过计算得到的 y 值全体就是值域。
函数的表示方法有解析法，像刚才的 y = 2x + 1；列表法，例如某商店一周每天的销售额，用表格呈现日期与销售额的对应关系；还有图象法，将函数关系用图形展示，能直观看到函数变化趋势。
函数的基本性质
- 单调性：这描述了函数的增减情况。对于函数 f (x) ，在定义域的某个区间内，如果当 x < x时，都有 f (x) < f (x) ，那函数在这个区间就是增函数；反之，若 f (x) > f (x) ，则是减函数。比如函数 y = x^2 ，在区间 (-∞, 0) 上是减函数，在 (0, +∞) 上是增函数。判断单调性可以通过定义法，设 x 、x在区间内，比较 f (x) 与 f (x) 大小；也可以根据函数图象直观判断。
- 奇偶性：若对于函数 f (x) 定义域内任意 x，都有 f (-x) = f (x) ，函数就是偶函数，其图象关于 y 轴对称，如 y = x^2 ；若 f (-x) = -f (x) ，则是奇函数，图象关于原点对称，像 y = x^3 。判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称，再验证 f (-x) 与 f (x) 的关系。
学习方法技巧
理解函数概念时，多结合生活实例，比如出租车计费与行驶里程的关系就是函数关系。学习函数性质，通过画图，对比不同函数图象的特点，加深对单调性、奇偶性的理解。对于复杂函数，可以拆分成简单函数来分析性质。还可以建立错题本，把关于函数性质判断错误的题目整理下来，分析原因，强化记忆。
原题解析
已知函数 f (x) = x^3 - 3x ，判断其奇偶性并求单调区间。
首先判断奇偶性，f (-x) = (-x)^3 - 3 (-x) = -x^3 + 3x = - (x^3 - 3x) = -f (x) ，且定义域为 R 关于原点对称，所以 f (x) 是奇函数。
求单调区间，对 f (x) 求导得 f'(x) = 3x^2 - 3 ，令 f'(x) = 0 ，即 3x^2 - 3 = 0 ，解得 x = ±1 。当 x < -1 或 x > 1 时，f'(x) > 0 ，函数单调递增；当 -1 < x < 1 时，f'(x) < 0 ，函数单调递减。所以单调递增区间是 (-∞, -1) 和 (1, +∞) ，单调递减区间是 (-1, 1) 。这道题综合考查函数奇偶性判断和单调性求解。
第三篇：基本初等函数 —— 开启函数世界的多样大门
基本初等函数包括指数函数、对数函数和幂函数，它们各具特色，是新高一上学期数学的重要内容。
指数函数
函数 y = a （a > 0 且 a ≠ 1）就是指数函数。当 a > 1 时，函数单调递增，如 y = 2 ，随着 x 增大，y 值增长速度越来越快；当 0 <a < 1 时，函数单调递减，像 y = (1/2) ，x 增大时，y 值逐渐减小趋近于 0 。指数函数的图象恒过点 (0, 1) 。要牢记指数运算法则，如 a × a = a ，(a) = a等，这对解决指数函数相关问题很关键。
对数函数
对数函数 y = logx （a > 0 且 a ≠ 1）与指数函数互为反函数。当 a > 1 时，函数在 (0, +∞) 上单调递增；当 0 < a < 1 时，在 (0, +∞) 上单调递减。图象恒过点 (1, 0) 。对数运算也有法则，如 log(MN) = logM + logN ，log(M/N) = logM - logN 等。像 log8 ，因为 2^3 = 8 ，所以 log8 = 3 。
幂函数
一般形式是 y = x ，a 为常数。当 a > 0 时，函数在 (0, +∞) 上单调递增；当 a < 0 时，在 (0, +∞) 上单调递减。比如 y = x^2 ，y = x^1 = 1/x 等都是幂函数。不同幂函数图象在第一象限有不同特征，要熟悉常见幂函数图象。
学习方法技巧
学习这三类函数，对比它们的定义、图象和性质，找出异同点。制作函数图象变化的动画，观察 a 值变化时函数图象如何改变，加深理解。多做关于函数运算和性质应用的题目，熟练掌握运算法则。可以利用记忆口诀，如 “同底对数相加，真数相乘” 来记对数运算法则。
原题解析
已知函数 y = log(x^2 - 2x - 3) ，求其定义域和单调区间。
求定义域，令 x^2 - 2x - 3 > 0 ，因式分解得 (x - 3)(x + 1) > 0 ，解得 x < -1 或 x > 3 ，所以定义域是 (-∞, -1) ∪(3, +∞) 。
求单调区间，令 t = x^2 - 2x - 3 ，则 y = logt 。函数 y = logt 在 (0, +∞) 上单调递增，对于 t = x^2 - 2x - 3 ，其对称轴为 x = 1 ，在 (-∞, -1) 上单调递减，在 (3, +∞) 上单调递增。根据复合函数 “同增异减” 原则，函数 y = log(x^2 - 2x - 3) 在 (-∞, -1) 上单调递减，在 (3, +∞) 上单调递增。这题考查对数函数定义域和复合函数单调性。
第四篇：三角函数 —— 刻画周期现象的有力工具
三角函数在新高一上学期数学中，为同学们打开了研究周期变化的大门，它在物理、工程等领域都有广泛应用。
任意角和弧度制
角不再局限于 0° 到 360° ，可以是任意大小。正角按逆时针方向旋转形成，负角顺时针旋转形成。弧度制是另一种度量角的方式，1 弧度的角是长度等于半径的弧所对的圆心角。角度与弧度可以相互转换，180° = π 弧度。比如 30° 转换为弧度是 30° ×(π/180°) = π/6 弧度。
三角函数的定义
在平面直角坐标系中，设角 α 终边上一点 P (x, y) ，r = √(x^2 + y^2) ，正弦函数 sinα = y/r ，余弦函数 cosα = x/r ，正切函数 tanα = y/x （x ≠ 0）。这是三角函数最基础的定义，基于此可以推出很多性质和公式。
三角函数的图象与性质
- 正弦函数 y = sinx：图象是波浪线，周期是 2π ，值域是 [-1, 1] ，在 [-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ] （k ∈Z）上单调递增，在 [π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ] （k ∈Z）上单调递减。图象关于点 (kπ, 0) 对称，对称轴是 x = π/2 + kπ （k ∈Z）。
- 余弦函数 y = cosx：图象类似正弦函数，周期也是 2π ，值域 [-1, 1] ，在 [2kπ, π + 2kπ] （k ∈Z）上单调递减，在 [π + 2kπ, 2π + 2kπ] （k ∈Z）上单调递增。图象关于点 (π/2 + kπ, 0) 对称，对称轴是 x = kπ （k ∈Z）。
- 正切函数 y = tanx：周期是 π ，定义域是 {x|x ≠ π/2 + kπ, k ∈Z} ，值域是 R ，在 (-π/2 + kπ, π/2 + kπ) （k ∈Z）上单调递增。图象关于点 (kπ/2, 0) 对称。
学习方法技巧
理解任意角和弧度制概念时，结合时钟指针旋转等实例。记忆三角函数定义和性质，可以通过画图，多画几遍正弦、余弦、正切函数图象，在图上标注关键点、周期、单调区间等，强化记忆。利用单位圆来理解三角函数值在不同象限的正负情况。制作三角函数性质对比表格，清晰呈现正弦、余弦、正切函数的异同。
原题解析
已知函数 y = 2sin (2x + π/3) ，求其周期、值域、单调区间。
周期 T = 2π/ω （ω 是 x 前面的系数），这里 ω = 2 ，所以 T = π 。
因为正弦函数值域是 [-1, 1] ，所以 2sin (2x + π/3) 的值域是 [-2, 2] 。
求单调区间，令 -π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/3 ≤ π/2 + 2kπ （k ∈Z），解不等式得 -5π/12 + kπ ≤ x ≤ π/12 + kπ （k ∈Z），这是单调递增区间；令 π/2 + 2kπ ≤ 2x + π/3 ≤ 3π/2 + 2kπ （k ∈Z），解得 π/12 + kπ ≤ x ≤ 7π/12 + kπ （k ∈Z），这是单调递减区间。本题考查三角函数性质的综合应用。
第五篇：综合提升 —— 攻克重难点，灵活运用知识
到了学期末，需要对新高一上学期数学知识进行综合梳理，攻克重难点，学会知识的灵活运用。
知识综合梳理
集合与函数结合，比如已知函数定义域是一个集合，通过集合运算求相关范围。函数与不等式结合，像求函数值域时可能会用到不等式知识。三角函数与其他函数也可能在综合题目中出现，例如在一个物理模型中，既有匀速直线运动（一次函数模型），又有简谐振动（三角函数模型）。
重难点突破
- 函数综合问题：涉及多个函数性质或者函数与其他知识结合的题目较难。突破方法是把复杂问题拆解，分别分析每个函数性质，再找到它们之间的联系。例如函数 y = f (x) 与 y = g (x) 的交点问题，可以转化为方程 f (x) = g (x) 求解，通过分析两个函数单调性、值域等性质来确定交点个数。
- 三角函数应用：在解决实际问题时，如何建立合适的三角函数模型是难点。要仔细分析题目中周期变化的规律，确定振幅、周期、初相。比如单摆运动，根据摆动幅度确定振幅，摆动周期确定 ω 值。
学习方法技巧
做综合练习题，从简单到复杂，逐步提升能力。建立知识网络，用思维导图把各章节知识联系起来，清晰呈现知识脉络。遇到难题多和同学讨论，或者向老师请教，学习不同的解题思路。定期复习错题，总结解题方法和易错点。
原题解析
已知集合 A = {x|x^2 - 4x + 3 ≤ 0} ，函数 f (x) = 2 ，x ∈A ，求函数 f (x) 的值域。
先求解集合 A ，解不等式 x^2 - 4x + 3 ≤ 0 ，因式分解得 (x - 1)(x - 3) ≤ 0 ，解得 1 ≤ x ≤ 3 ，所以 A = [1, 3] 。
函数 f (x) = 2在定义域内单调递增，当 x = 1 时，f (1) = 2^1 = 2 ；当 x = 3 时，f (3) = 2^3 = 8 。所以函数 f (x) 在 x ∈A 时的值域是 [2, 8] 。这道题综合考查集合运算和指数函数值域求解。
通过对西安 25 年新高一上学期数学各知识点的梳理、学习方法介绍、重难点分析及原题解析，希望同学们能在高中数学学习中打下坚实基础，取得优异成绩。