幂函数的定义

一般地，函数称为幂函数，其中a为常数。

注意：幂函数的系数必须为1。

例如：不是幂函数，因为系数不是 1；不是幂函数，因为后面有加 1；也不是幂函数。

幂函数的图像和性质

幂函数，随着a值的不同，函数的定义域、值域、奇偶性、单调性也不相同。但是也有一些共同的特征：

• 定义域：在区间(0,+∞)上都有定义；
• 单调性：如果a>0，幂函数在区间[0,+∞)上是增函数；如果a<0，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数；
• 图象都通过点(1,1)；
• 如果a>0，图象通过原点；

练习题

（1）比较的大小

知识点：根据幂函数的性质比较大小；

思路：在 R 上单调递增，且 1.5＜1.7，所以。

补充：比较幂值大小时，若指数相同，底数不同，可根据幂函数的单调性来比较；若底数相同，指数不同，可根据指数函数的单调性来比较；若底数和指数都不同，可通过中间值来比较。

（2）已知幂函数 y = f (x) 的图象过点 ，求这个函数的解析式。

知识点：设出幂函数的一般形式，再根据已知条件求出a的值。

思路：设幂函数 y = f (x)=，将点的坐标代入解析式，即，a=1/2，所以幂函数的解析式为。

（3）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，求m的值？

知识点：幂函数的性质（如果a<0，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数）。

思路：

因为幂函数f(x)在(0,+∞)上是减函数，所以，解不等式得-1<m<3。

又根据题目已知条件m∈Z，得m=0,1,2。

当m=0时，，不符合已知条件“关于y轴对称”。

当m=1时，，符合题意。

当m=2时，，不符合已知条件“关于y轴对称”。

综上，m=1。