2025年09月11日
求函数的定义域就是求使函数有意义的自变量的取值范围。
求函数的定义域常现的约束条件：
1、分母≠0;
2、偶次根式被开方数≥0;
3、零的零次方没有意义;
4、对数真数>0;
5、最后求交集，写成集合或是区间。
6、应用问题还看实际背景，比如整数，这也是常被遗忘的，比如出现2/3人这样的结果。
7、抽象函数的定义域只要记住一点，即f后括号里的范围相同。即f(x)中的X和f(g(x))中的括号里的g(x)茫围相同，再者定义域就是求X的取值范围。
最易出错的是：
1、根指数奇偶不分。根指数是偶数的被开方数为非负数，根指数为奇数的被开方数是实数。常见错误是一律≥0。
2、幂指数是0的，不考虑底数不能为0；
3、抽象函数定义域的求法常出错。
4、实际应用忽略背景。
一、给出解析式，求定义域
例：求函数f(x)=√(X+1)/(X+2)的定义域。
[解析]
被开方数X≥0且分母X+2≠0，写定义域时易写为{x丨x≥0且x≠一2}，错误原因是：交集写错了，一2本身不在X≥0内。正确写法为{x|x≥0}，或写为[0，+∞)；
[同步跟踪]求函数f(x)=√(Ⅹ+3)+1/(X+1)的定义域。
[易错警示]解法同例，但一1在X≥一3内，故写为{X丨X≥一3且X≠一1}。
二、已知定义域，求参数的取值范围。
例：已知函数f(x)=√(mⅩ^2+mⅩ+1)的定义域为R，求实数m的取值范围。
[思路探寻]已知定义域为R，解释为对任意实数×，mX^2+mX+1≥0恒成立。分两类求解：当m=0时，1≥0恒成立，即m=0符合要求；当m≠0时，对应y=mX^2+mⅩ+1图象恒在x轴上方或与x轴有一个交点，即m>0且△=m^2一4m≤0，解得0<m≤4，综上所述，函数的定义域为{x|0≤m≤4}。
[易错警示]这是一道以函数的定义域为载体求参数的取值范围的题，又隐含二次项的为0，需分类讨论然后求并集。学生常常错误地习惯写出△≤0，既不考虑是否为二次不等式，是二次不等式又不考虑抛物线开口方向。
三、求抽象函数的定义域
例：已知f(X)的定义域为[O，2]，求函数y=f(2x)/(X一1)的定义域。
[思路探寻]这是一道抽象函数的定义域问题。习惯了有解析式的函数，看到抽象函数就有点怕，不知道从何处着手。遇到抽象函数，我们用原始定义对付他就行。记住两点：①定义域是自变量X的取值范围；②f()括号里的不管是X还是x一1还是其他代数式，总的范围是相同的。
[解析]：0≤2X≤2且x一1≠0，解得0≤X<1。所以函数的定义域为{×|0≤x<1}。
解题过程中有一个求交集的过程，定义域要用集合表示。
[迁移1]已知f(X+3)的定义域为[一5，一2]，求f(x)的定义域。
[思路探寻]一5≤x≤一2是Ⅹ的范围还是(X+3)的范围，是解题关键。由定义知定义域是自变量X的取值范围，所以应是x的范围。而所求的f(X)的定义域，恰好是(X+3)的取值范围。
[解析]：因为一5≤x≤一2，所以一2≤x+3≤1，所以函数f(X)的定义域为{x丨一2≤×≤1}。
[迁移2]已知f(X+3)的定义域为{Xl一5≤x≤一2}，求y=f(X+1)一f(x一1)的定义域。
[思路探寻]这也是一道求抽象函数的定义域。进一步抽象不告诉y=f(×)的定义域，所以解答过程中隐含求y=f(x)的定义域。这是从抽象到抽象。记住我上题说过的，再强调一次：①求定义域就是求自变量X的取值范围；②f()括号里的不管什么代数式，范围都一样。
[解析]：因为一5≤x≤一2，所以一2≤x+3≤1，所以函数f(X)的定义域为{x丨一2≤×≤1}，由一2≤×+1≤1且一2≤X一1≤1，求得一1≤x≤0，所以函数的定义域为[一1，0]。
[同步跟踪]已知函数y=f(X+1)的定义域为[一2，3]，求y=f(Ⅹ^2)的定义域。
[参考答案][一2，2]
熟悉了具体和抽象两类函数的定义域的求法，对函数的认识是不是不那么陌生了，高中数学的学习就是这样一步一步地走向深入的。
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